قضیه آخر فرما: سوالی که حل کردنش بیش از 350 سال طول کشید

«پیر دو فرما» Pierre de Fermat (متوفی 1665 میلادی) در زمان خودش کتاب های زیادی ننوشت. کلا ریاضی دان معروفی هم نبود، و بیشتر به عنوان یک حقوق دان شناخته می شد. فرما به جای نوشتن کتابی از خودش، معمولا در حاشیه ی کتاب های دیگران نکته هایی که به ذهنش می رسید رو یادداشت می کرد.

بعد از مرگ فرما، در حاشیه ی یکی از کتاب ها مطلبی کشف شد، که در آینده به عنوان "قضیه ی آخر فرما" مشهور شد. در حاشیه ی کتاب مساله ای به این صورت بیان شده بود:

برای هر عدد صحیح n>۲ معادلهٔ aⁿ + bⁿ = cⁿ فاقد جواب صحیح مثبت است.

فرما در حاشیه می نویسد:

 "اثبات شگفت انگیزی برای این سوال کشف کرده ام. ولی حاشیه ی کتاب باریکتر از آن است که بتوان آن را نوشت!"

 

فرما در نوشته هایش ادعاهای گوناگونی در مورد مسائل متعددی کرده بود، که همه ی حدس ها و نظریه های مطرح شده تا سال 1847 حل شدند، غیر از این مساله که آخرین قضیه ی او نام گرفت.

ویکیپدیا می نویسد (اگر حوصله ی ریاضی ندارین، این پاراگراف رو نخونین):

·         «در ۴ آگوست ۱۷۵۳ اویلر در نامه‌ای به گلدباخ، ادعا کرد که قضیه فرما را در حالت N=۳ ثابت کرده‌است. البته اثبات وی اشتباه داشت... فرد دیگری که قدمی به جلو برداشت، سوفی ژرمن بود. او نشان داد که اگر n و ۲n+۱ اعداد اولی باشند، آنگاه ایجاب می‌کند که یکی از x، y یا z بر n بخشپذیر باشد. بنابراین قضیه آخر فرما به دو حالت زیر تفکیک می‌شود:
(۱) n هیچیک از x و y و z را نمی‌شمارد.
(۲) n یکی از x و y و z را می‌شمارد.
سوفی ژرمن حالت (۱) را برای هر >۱۰۰ ثابت کرد و لژاندر روش وی را به همهٔ اعداد کوچک‌تر از ۱۹۷ گسترش داد. حالت (۲) برای n=۵ به دو بخش تقسیم شد و بخشی را دیریکله در جولای ۱۸۲۵ و حالت دیگر را لژاندر در سپتامبر ۱۸۲۵ ثابت کرد. در سال ۱۸۳۲ دیریکله اثباتی از قضیه فرما را برای n=۱۴ منتشر کرد. حالت n=۷ در ۱۸۳۹ توشط لامه ثابت شد...
با وجود جوایزی که برای حل مساله فرما گذاشته شده بود، این قضیه، همچنان حل نشده باقی ماند و رکورددار بیشترین اثباتهای غلط شد. به عنوان مثال بیش از ۱۰۰۰ اثبات غلط در بین سالهای ۱۹۰۸ تا ۱۹۱۲ منتشر گردید...»

سال ها گذشت و ریاضی دانها، یکی پس از دیگری، یا اثباتی غلط ارائه می دادند، و یا قسمتی از مساله رو حل می کردند و کار رو به نسل های بعدی می سپردن. تا روزی یک کودک به نام اندرو وایلز این مساله رو در کتابی دید و از همون کودکی اسیر حل آن شد. او در خاطراتش می گوید:

«من ده ساله بودم که روزی در کتابخانه‌ای عمومی یک کتاب ریاضی پیدا کردم. در این کتاب مطالب تاریخی بسیاری دربارهٔ مساله‌ای آمده بود. من در حالی که فقط ده سالم بود، صورت آن مساله را فهمیدم و سعی کردم آن را ثابت کنم. مسالهٔ جالبی بود. این مساله همان قضیهٔ آخر فرما بود!... به نظر خیلی ساده می رسید، ولی همه ی ریاضی دانهای بزرگ در حلش عاجز بودن... مصمم شدم که حلش کنم»

در طول دوران جوانی سعی به حل مساله داشت، ولی هیچ پیشرفتی نکرد. در آخر وایلز به این نتیجه رسید که ریاضیات موجود، قادر به حل این سوال به صورت مطلق نبوده، و نیاز هست که از زاویه ی دیگری به آن نگاه شود.

وایلز به دانشگاه کمبریج رفت و بعد از گرفتن درجه ی دکترا، به دانشگاه پرینستون رفت. بعد از گذشت سال ها ریاضی دانی به نام «کن ریبت» کشف کرد که نظریه ی حل نشده ی دیگری (به اسم تانیاما-شیمورا) در خم های بیضوی، رابطه ای مستقیم با قضیه ی فرما دارد. و اگر کسی بتواند آن مساله را حل کند، فضیه ی فرما هم اثبات خواهد شد. پس وایلز همه ی تلاش خودش رو برای حل مساله ی تانیاما-شیمورا معطوف کرد و 7 سال از اکثر کارهای دیگرش دست کشید و به حل مساله پرداخت.

 

«اندرو وایلز در دهه ۱۹۸۰ به دانشگاه پرینستون رفت. وی پس از شروع کار روی قضیه فرما تقریباً تحقیقات دیگرش را کنار گذاشت. وایلز در این باره گفته‌ است که صحبت کردن با دیگران دربارهٔ قضیه فرما غیر ممکن (و غیر مفید) است! زیرا این مطلب به موضوع شدیدا جالب توجهی برای همه تبدیل شده (و با صحبت درباره ی آن، تمرکز خود را از دست می دهد). تنها کسی که از کار کردن وایلز روی این قضیه اطلاع داشت، همسرش بود.»

سرانجام در سال 1993، وایلز در تنهایی اتاق خودش به حل مساله دست پیدا کرد. و در حالی که از اشتیاق نزدیک شدن به حل مساله فراموش کرده بود که از اتاق بیرون بیاید و ناهار بخورد، در عصر یک روز بهاری مساله را حل کرد. کسی غیر از او و همسرش از این کشف مطلع نبود.

وایلز ترتیبی داد که اعلام کنند او در سه جلسه می خواهد حل مساله ی تانیاما-شیمورا رو ارائه بده. هیچ کس در اون موقع اطلاع نداشت که این مساله ربطی به قضیه ی فرما داره. در انتهای جلسه ی سوم، حضار به آهستگی متوجه ارتباط این دو مساله و کشف عظیم وایلز شدند. بعد از اثبات مساله ی اول، وایلز فقط صورت مساله ی قضیه ی فرما رو روی تخته نوشت و گفت:‌ "فکر می کنم تا همین جا بس باشه!"

وایلز با حل این مساله سریعا به عنوان یکی از معروفترین ریاضی دانهای زمان خود شناخته شد.

گرچه ایرادهایی در حل مساله بود، و وایلز نیاز به دو سال دیگه برای تکمیل اثبات قضیه داشت؛ ولی نهایتا در سال 1995، یعنی بعد از گذر بیش از 350 سال از مطرح شدن قضیه، اثبات قضیه رو چاپ کرد. روش حل وایلز در کتابی بیش از 100 صفحه نوشته شده، که بسیاری از دانشجوهای رشته ی ریاضی هم از درکش عاجز هستن، ولی در هر صورت، مساله حل شده است.

واضح است که حلی که فرما در ابتدا ادعا کرده بود بزرگتر از آن است که در حاشیه ی کتاب جا شود، این حل نبوده است. چرا که روش های استفاده شده توسط وایلز در زمان فرما هنوز وجود نداشتند. معمای تاریخی همچنان باقیست! هرگز معلوم نخواهد شد که حل فرما چه بوده است؛ آیا راهی ساده تر برای حل این مساله وجود دارد که صدها سال به ذهن کسی نرسیده است؟ و یا آن که فرما هم مانند بسیاری از ریاضی دان های پس از خودش، راه حلی ناصحیح از مساله داشته است...

«شاید آرزوی بسیاری از دانشجویان جوان ریاضی مطالعه و فهمیدن اثبات قضیه‌ای باشد که صورتی بدین سادگی و اثباتی آنچنان پرماجرا داشته‌است.»